Relasi dan Representasinya dengan Tabel, Matriks dan Graf Berarah

Relasi di dalam kehidupan nyata erat kaitan nya dengan dua atau lebih individu maupun kelompok yang saling berhubungan. Misalnya, hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah atau dosen nya, pegawai dengan gaji nya dan sebagainya. Dalam matematika diskrit, relasi dapat didefinisikan sebagai hubungan antara dua atau lebih elemen pada masing-masing himpunan.

Misalkan ada dua buah himpunan yaitu himpunan A dan himpunan B yang elemen nya semua berurut (ordered pairs) maka relasi antar himpunan A dan himpunan B tersebut disebut relasi biner.

Notasi : R ⊆ (A x B)

Jika (a, b) ∈ R , maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R. Namun jika (a, b) ∉ R, maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R.

Contoh 1:
Misalkan A = {Andi, Beni, Caca} adalah himpunan nama 
mahasiswa, dan B = {TI231, TI321, TI412, TI221} 
adalah himpunan kode mata kuliah di jurusan Teknik
Informatika.
Perkalian kartesian antara A dan B menghasilkan
himpunan pasangan terurut yang jumlah anggotanya
adalah |A|.|B| = 3 . 4 = 12 buah, yaitu

A x B  = {(Andi, TI231), (Andi, TI321),
          (Andi, TI412), (Andi, TI221),
          (Beni, TI231), (Beni, TI321), 
          (Buen, TI412), (Beni, TI221), 
          (Caca, TI231), (Caca, TI321), 
          (Caca, TI412), (Caca, TI221)}

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah
yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Genap, yaitu

R  = {(Andi, TI321), (Andi, TI412), (Beni, TI231), 
      (Beni, TI412), (Caca, TI412)}

Dapat kita lihat bahwa R ⊆ (A x B), A adalah daerah asal R,
dan B adalah daerah hasil R. Jadi (Andi, TI321) ∈ R juga
dapat kita tulis menjadi Andi R TI321, tetapi
(Andi, TI231) ∉ R sehingga kita menuliskan Andi R TI231.
Contoh 2:

Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan :

(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.

maka kita peroleh

R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}

Diagram panah untuk masing-masing relasi pada contoh 1 dan contoh 2  digambarkan sebagai berikut:

Representasi Relasi

Terdapat banyak cara lain untuk merepresentasi atau menyajikan selasi. Umumnya, ada 3 cara yang sering digunakan untuk merepresentasikan relasi, yaitu dengan tabel, matriks dan graf berarah.

Representasi Relasi dengan Tabel

Relasi dapat direpresentasikan menggunakan tabel. Kolom pertama untuk menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua untuk menyatakan daerah hasil.

Representasi relasi pada contoh 1 dan contoh 2 dinyatakan pada tabel berikut:

Representasi Relasi dengan Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, an} dan B ={b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij], dimana :

Dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika dihubungkan dengan bj, dan bernilai 0 jika tidak dihubungkan dengan bj.

Relasi pada contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks berikut :

Dalam hal ini, a1 = Andi, a2 = Beni, a3 = Caca, dan b1 = TI231, b2 = TI321, b3 = TI412, b4 = TI221.

Representasi Relasi dengan Graf Berarah

Pada graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (vertex), dan tiap pasangan nya dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan pada sebuah panah. Jadi, jika (a, b) ∈ R, maka busur dibuat dari simpul a ke simpul b.  Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

Contoh :

a. Representasi graf untuk relasi R = {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,d),(a,d)}

b. Representasi graf untuk relasi R = {(2,2), (2,5), (2,7), (3,8)}

Ditunjukkan pada gambar berikut :

Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah. Representasi dengan model ini dapat dikatakan paling mudah untuk dibaca dibanding kedua representasi yang lainnya.


Pustaka :

Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *