Logika : Proposisi

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran nya (truth value).

Didalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakandalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi.

  • Contoh 1
    Manakah diantara kalimat berikut yang merupakan proposisi ?
    
    a. 3 + 3 = 6
    b. Jeruk adalah buah
    c. 1 adalah bilangan ganjil
    d. Ibukota Negara Jepang adalah Seoul
    e. Dimana Lee Min Ho tinggal ?
    f. Tolong tutup pintu itu !
    g. x + 3 = 5
    h. y > 2
    
    Penjelasan
    
    a. 3 + 3 = 6 merupakan proposisi karena bernilai benar (true).
    b. Kalimat (b) yaitu, 'jeruk adalah buah' merupakan proposisi karena bernilai benar.
    c. Kalimat (c) merupakan proposisi karena bernilai benar.
    d. Kalimat (d) yaitu, 'Ibukota Negara Jepang adalah Seoul' merupakan proposisi walaupun bernilai salah.
    e. Kalimat (e) yaitu, 'Dimana Lee Min Ho tinggal ?' bukan proposisi karena kalimat (e) merupakan kalimat tanya.
    f. Kalimat (f) yaitu, 'Tolong tutup pintu itu !' bukan proposisi karena kalimat (f) merupakan kalimat perintah.
    g. Kalimat (g) bukan merupakan proposisi karena mengandung peubah (variabel) yang tidak di spesifikasikan nilai nya.
    h. Kalimat (h) bukan merupakan proposisi karena mengandung peubah (variabel) yang tidak di spesifikasikan nilai nya.

    Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r dan sebagainya. Misalnya,

p :  6 adalah bilangan genap

Untuk mendefinisikan sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga dengan :

q : Larry Page dan Sergey Brin adalah penemu Google .

r : 2 + 2 = 4.

dan sebagainya.

Kita dapat mengkombinasikan satu atau lebih proposisi untuk membentuk proposisi baru. Operator yang dapat digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),  atau (or),  dan tidak (not).

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian proposisi lain dinamakan proposisi majemuk (compound preposition), sedangkang proposisi yang bukan kombinasi proposisi lain disebuh proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk merupakan gabungan atau komposisi dari proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan p dan q adalah proposisi. 
Konjungsi (conjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi 
p q, adalah proposisi p dan q.
Disjungsi (disjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi 
p q, adalah proposisi p atau q.
Ingkaran (negation) dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, 
adalah proposisi tidak p.

Berikut contoh-contoh proposisi majemukdan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh 2
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
   p : Besok hari minggu
   q : Saya libur akhir pekan
maka
   p q : Besok hari Minggu dan saya libur akhir pekan.
   p q : Besok hari Minggu atau saya libur akhir pekan.
   ~p    : Tidak benar besok hari Minggu
Contoh 3
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
   p : Saya lapar
   q : Saya haus
maka
   q ~p  : Saya haus atau saya tidak lapar
   ~p  ~q : Saya tidak lapar dan saya tidak haus 
             (dengan kata lain, Saya tidak lapar maupun haus)
   ~(~p)   : Tidak benar saya tidak lapar
Contoh 4
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
   p : Wanita itu tinggi
   q : Wanita itu cantik
Nyatakan proposisi berikut ke dalam ekspresi logika 
(notasi simbolik) :

(a) Wanita itu tinggi dan cantik
(b) Wanita itu tinggi tapi tidak cantik
(c) Wanita itu tidak tinggi maupun cantik
(d) Tidak benar bahwa wanita itu pendek atau tidak cantik
(e) Wanita itu tinggi, atau pendek dan cantik
(f) Tidak benar bahwa wanita itu pendek maupun cantik

Penyelesaian :

(a) pq
(b) p ~q
(c) ~p  ~q
(d) ~(~p ~q)
(e) p  (~p ∧ ~q)
(f) ~(~p ~q)

Pustaka :

Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *