Himpunan Ganda

Pada umumnya, himpunan adalah kumpulan elemen yang berbeda. Namun dalam kondisi tertentu, elemen himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya himpunan nama-nama mahasiswa di kelas. Nama mahasiswa di dalam sebuah kelas mungkin saja ada yang sama, karena itu ada perulangan elemen yang sama di dalam himpunan tersebut.

Himpunan yang elemen nya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1,1,1,2,3,3}, {a,a,a}, {b,b,c}, {} adalah himpunan ganda. Jumlah kemunculan elemen pada sebuah himpunan ganda disebut dengan multiplisitas.

Sebagai contoh: Jika R = {a, b, ab, ba, bb, a, aab, a, bbbba, a}, maka multiplisitas elemen a adalah 4. Cara lain menyatakan himpunan ganda adalah dengan menggunakan multiplisitas nya, misalnya {2 . a, 3 . b, 1 . c} sama dengan {a,a,b,b,b,c}.

Operasi pada himpunan ganda sedikit berbeda dengan operasi pada himpunan biasa. Untuk himpunan ganda, definisi operasi himpunan adalah sebagai berikut:

Misalkan P dan Q adalah himpunan ganda.

1. P ∪ Q adalah suatu himpunan yang multiplisitas elemennya 
sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada 
himpunan P dan Q.
Contoh:
Jika P = {a,a,b,d,d,d} dan Q = {a,a,a,b,b,c}, 
maka P ∪ Q = {a,a,a,b,b,c,d,d,d}

2. P ∩ Q adalah suatu himpunan yang multiplisitas elemennya
sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh:
Jika P = {a,a,b,d,d,d} dan Q = {a,a,a,b,b,c}, maka 
P ∩ Q = {a,a,b}

3. P - Q adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas 
elemennya menghasilkan selisih yang positif. Jika selisihnya
nol atau negatif maka di abaikan (0).
Contoh:
Jika P = {a,a,a,b,b,c,d,d,e} dan Q = {a,a,b,b,b,c,c,d,d,f}
maka P - Q = {a,e}

4. P + Q yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah 
himpunan ganda adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q. Catatan: Beda setangkup tidak didefinisikan pada himpunan ganda.
Contoh:
Jika P = {a,a,b,c,c} dan Q = {a,b,b,b,d} maka 
P + Q = {a,a,a,b,b,b,b,c,c,d}

Pustaka:

Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *