Himpunan Dalam Matematika Diskrit

Terminologi dasar tentang sekumpulan objek-objek diskrit adalah himpunan. Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek-objek yang berbeda secara bersama-sama. Kata “berbeda” dicetak miring untuk menekankan bahwa anggota himpunan tidak boleh sama. Objek yang terdapat di dalam suatu himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Terdapat 4 cara untuk menyajikan himpunan, yaitu mengenumerasikan elemen-elemen nya, menggunakan simbol-simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan dan menggunakan diagram venn.

1. Enumerasi

Kita bisa menyajikan himpunan dengan meng-enumerasi kan nya jika sebuah himpunan tidak terlalu besar. Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital ataupun menggunakan simbol-simbol lain nya.

Contoh 1.1 :
Himpunan A yang berisi empat anggota 1,2,3, dan 4 yang 
ditulis sebagai A = {1,2,3,4}. Urutan himpunan tidak memiliki
arti apa-apa, jadi kita juga bisa menuliskan A sebagai 
A = {4,2,3,1} atau A = {2,1,4,3}. Oleh sebab itu, beberapa 
literatur juga menambahkan definisi himpunan sebagai kumpulan
objek tak berurut (unordered collection).

Contoh 1.2 :
Himpunan B yang berisi tiga bilangan ganjil positif pertama 
adalah B = {1,3,5}.

Selain masalah urutan, yang perlu diperhatikan adalah penulisan anggota yang berulang. Misalnya, kalau kita ingin menyebutkan kumpulan buku di dalam perpustakaan yang mana buku berjudul x ada 2 buah, sedangkan buku berjudul y dan z masing-masing berjumlah 1 buah, maka himpunan {x, x, y, z} adalah penulisan yang kurang tepat. Kita bisa menuliskan himpunan tersebut menjadi {x1, x2, y, z}, dimana x1 merupakan copy 1 dari buku x dan x2 merupakan copy 2 dari buku x.

Contoh 1.3
C = {a, {a}, {{a}} }
K = { {} }

Perhatikan bahwa C adalah himpunan yang terdiri dari 3 elemen
yaitu a, {a}, dan {{a}}. Perhatikan juga bahwa K 
hanya berisi satu elemen yaitu {}, yang merupakan himpunan 
kosong, sering juga dilambangkan dengan ∅.

Untuk menuliskan himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya, kita dapat menggunakan tanda ‘…’ (ellipsis), seperti contoh 1.4 berikut.

Contoh 1.4
Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {1,2,3, ... }.
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Didalam suatu himpunan, suatu objek dapat menjadi anggota atau bukan anggota himpunan tersebut. Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi berikut :

y ∈ B yang artinya y merupakan anggotan himpunan B; dan

y ∉ B yang artinya y bukan merupakan anggota himpunan B.

Contoh 1.5
Misalkan R = {a,b,c,d}, S = {1,2,3,4}, dan T = { {} }, maka :

b ∈ R
e ∉ R
3 ∈ S
6 ∉ S
{} ∈ T

Contoh 1.6
Bila Q1 = {a,b}, Q2 = { {a,b} }, dan Q3 = { {{a,b}} }, maka :

a ∈ Q1
a ∉ Q2
Q1 Q2
Q1 Q3
Q2  Q3

2. Simbol-simbol Baku

Beberapa himpunan dapat disajikan atau dituliskan dengan simbol huruf-huruf baku dan tulis dengan cetak tebal.  Beberapa simbol tersebut yang biasa sering digunakan adalah :

P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, …}

Z = himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Terkadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan universal yang disebut dengan semesta dan disimbolkan dengan U. Himpunan U harus didefinisikan secara eksplisit, sebagai contoh misalnya U = {1, 4, 5, 7, 10} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {4, 7, 10}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Dengan notasi pembentuk himpunan (set builder), himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Dimana :
a. Bagian di kiri tanda '|' melambangkan elemen himpunan.
b. Tanda '|' dibaca dimana atau sedemikian sehingga.
c. Sebelah kanan tanda '|' menunjukkan syarat keanggotaan 
   himpunan.
d. Setiap tanda ',' dibaca sebagai dan.
Contoh 3.1

1. A adalah himpunan bilangan positif yang lebih kecil dari 
   5, dinyatakan sebagai :
   A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih 
   kecil dari 5}.
   Atau dalam kondisi lebih ringkas :
   A = { x | x P, x < 5 }
   yang sama dengan A = {1, 2, 3, 4}.

2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil 
   atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai :
   B = { x | x adalah himpunan bilangan genap positif lebih 
   kecil atau sama dengan 8}.
   Atau dalam kondisi lebih ringkas :
   B = { x | x/2 ∈ P, 2≤ x 8≤ }.
   yang sama dengan B = {2, 4, 6, 8}.

3. M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil jurusan Ekonomi,
   dinyatakan sebagai :
   B = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil jurusan Ekonomi}.

4. Diagram Venn

Diperkenalkan pada tahun 1881 oleh matematikawan asal Inggris, John Venn, diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Di dalam diagram Venn, himpunan semesta digambarkan di dalam sebuah segi empat, sedangkan objek-objek nya di gambarkan di dalam sebuah lingkaran.

Contoh 4.1
Misalkan U = {1,2, ..., 9, 10}, A = {1, 2, 4, 6, 8}, 
B = {1, 3, 5, 8, 9}.
Ketiga himpunan tersebut digambarkan dalam diagram Venn 
berikut :
diagramvenn

Perhatikan bahwa A dan B memiliki anggota yang sama , yaitu
1 dan 8. Sedangkan himpunan U yang lain yaitu 7 dan 10 tidak
termasuk ke dalam himpunan A dan B.

Pustaka :

  1. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *